\section{自由度及刚体的自由度}\label{sec:10.01}

自由度就是描写体系几何位形所需的独立坐标的数目。譬如，
对于一个质点的直线运动，只需一个坐标$ x $就完全确定了质点的位
置；对于一个质点的圆周运动，只需一个坐标$ \varphi $来确定质点的位
置(图\ref{fig:10.01})。因此，这类运动的自由度是1。一般地说，质点
\begin{wrapfigure}[9]{r}{13em}
  \centering
  \includegraphics{figure/fig10.01}
  \caption{一维运动}
  \label{fig:10.01}
\end{wrapfigure}
的一维运动其自由度都是$ 1 $。对于
一个质点在三维空间中的运动，
需要三个独立坐标来描写它的位
置。可以用笛卡尔坐标$ x,y,z $，
也可以用球极坐标$ r, \theta , \varphi $。因
此，质点是具有$ 3 $个自由度的物
理对象。

推广到由$ n $个质点构成的多
质点体系，一般说，如果要确定
体系的几何位形，就要$ 3 \times n $个坐标，即有$ 3n $个自由度。然而，在
某些情况下，由于质点之间存在确定的关系，故这$ 3n $个坐标并不
全是独立的。换言之，在质点体系中常存在着一些限制各质点自
由运动的条件。

例如，由两个质点$ m _ 1, m _ { 2 } $ 构成的体系(图\ref{fig:10.02})，一般要用
% 286.jpg
$ 6 $个坐标$ \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } , z _ { 1 } \right) ,\left(x_2,y_2,z_2\right) $。如果两质点之间的距离是固
定的，其长度为$ r $，则上述$ 6 $个坐标之间有一个代数关系：
\begingroup
\mathindent=4em
\begin{equation}\label{eqn:10.01.01}
  \left( x _ { 1 } - x _ { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( y _ { 1 } - y _ { 2 } \right) ^ { 2 } + \left( z _ { 1 } - z _ { 2 } \right) ^ { 2 } = r ^ { 2 }
\end{equation}
\endgroup
\begin{wrapfigure}[7]{r}{9em}
  \centering
  \includegraphics{figure/fig10.02}
  \caption{两质点体系}
  \label{fig:10.02}
\end{wrapfigure}
亦即只要知道了任何$ 5 $个坐标值，由上式
就完全确定了第$ 6 $个坐标的值。因此，独
立坐标的数目是$ 6-1=5 $，此体系的自由
度为$ 5 $。这种体系在自然界是有的，如
氢分子，它是由两个氢原子构成的，两原
子间的距离基本上可以认为是不变的。

再如，两个氢原子和一个氧原子组成
的体系。若三个原子是完全自由的运动，则有$ 9 $个自由度。如果

\begin{wrapfigure}[7]{l}{13em}
  \centering
  \includegraphics{figure/fig10.03}
  \caption{水分子的结构}
  \label{fig:10.03}
\end{wrapfigure}
\noindent
化合成水分子，两两之间的距离
不变，形成三角形(图\ref{fig:10.03})，则
描写三个原子位置的9个坐标应
满足$ 3 $个类似于式\eqref{eqn:10.01.01}的代
数关系。所以此时该体系的独立
坐标个数为$ 9 - 3 = 6 $ ，即有$ 6 $个自
由度。

由四个原子组成的分子，例如NH\textsubscript{3}，在化合之前，有$ 3 \times 4 = 1 2 $
个自由度，化合成氨分子之后，形成如图\ref{fig:10.04}的四面体，两两原
子之间的距离都不变，共有$ 6 $个代数关系，所以这体系的自由度为
$ 1 2 - 6 = 6 $。

如果再增加一个原子，且它与原来四个原子的距离也都不变
(图\ref{fig:10.05}) ，则增加一个原子，就要增加$ 3 $个坐标，但同时却增加了
$ 4 $个代数关系式。要注意，新增加的$ 4 $个代数关系式并不是完全独
立的。因为在这$ 4 $个关系式中，任何$ 3 $个确定之后，第$ 4 $个也就确定
了。故仅有$ 3 $个新的独立代数关系式。因此，整个体系的自由度不
变仍然是$ 6 $。

% 287.jpg
\clearpage
\begin{figure}[h]
  \begin{minipage}[b]{0.5\linewidth}
    \centering
    \includegraphics{figure/fig10.04}
    \caption{NH\textsubscript{3}的结构}
    \label{fig:10.04}
  \end{minipage}
  \begin{minipage}[b]{0.5\linewidth}
    \centering
    \includegraphics{figure/fig10.05}
    \caption{五原子构成的体系}
    \label{fig:10.05}
  \end{minipage}
\end{figure}

同理，我们可以推广到更多原子组成的分子，得到一个结论：
含有三个原子以上的分子，若原子不全处在一条直线上，则都有
$ 6 $个自由度。

把上述论断再作推广可以得到：由任意多个质点所构成的体
系，如果体系中所有质点之间的距离都是固定的，且不在一条直
线上，则体系的自由度必定是$ 6 $。这种多质点体系称为刚体。当
然，刚体的概念最早并不是从分子来的，而是来自于不变形的体
系。所谓不变形即组成体系的各质点之间相对位置在运动过程中
不发生变化。这种体系称为刚体，实际上，自然界中没有绝对的
刚体。刚体这一概念是一种理想化。只要可以忽略物体形变的影
响，则该物体就可以认为是刚体。
